Révision Maths Première

I

Algèbre

Second degré (discriminant, racines, signe) et suites numériques (arithmétiques, géométriques).

x² Second degré

Discriminant, racines, forme canonique, factorisation, signe du trinôme

Maîtrisez les équations du second degré : discriminant Δ = b²−4ac, racines réelles, factorisation du trinôme et tableau de signes.

Discriminant Δ = b² − 4ac Racines réelles et factorisation Forme canonique a(x−α)²+β Signe du trinôme (a>0 extérieur) Somme et produit des racines

Formules clés

Δ = b² − 4ac · x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
Forme canonique : a(x−α)² + β · S = −b/a · P = c/a

Cours Équations du 2nd degré — Première

Cours Fonctions du second degré — Première

Méthode Factoriser un trinôme du second degré

Méthode Signe du trinôme — Tableau de signes

📐 Cours — x² Second degré

🚀 Équations du 2nd degré

Forme générale : ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0.

Le discriminant Δ = b² − 4ac détermine le nombre de solutions.

Arbre de décision du discriminant Δ = b² − 4ac

🌿

Δ > 0 → 2 racines

x₁,₂ = (−b±√Δ)/(2a)

🎯

Δ = 0 → 1 racine

x₀ = −b/(2a)

🚫

Δ < 0 → pas de racine

Aucune solution réelle

🧮

Somme & Produit

S=−b/a · P=c/a

🌟 Exemple : x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25−24 = 1 → x₁ = (5+1)/2 = 3, x₂ = (5−1)/2 = 2

📏 Forme canonique

Tout trinôme s'écrit : a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α).

🌟 Exemple : x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4

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Quiz — x² Second degré

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📈 Suites numériques

Généralités, modes de génération, variations, représentation graphique

Découvrez les suites numériques : définition explicite et par récurrence, sens de variation, représentation graphique en nuage de points.

Définition explicite uₙ = f(n) Définition par récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ) Sens de variation (croissante/décroissante) Représentation graphique Majoration et minoration

Formules clés

uₙ = f(n) · uₙ₊₁ = f(uₙ)
Étude du signe de uₙ₊₁ − uₙ · Nuage de points (n ; uₙ)

Cours Généralités sur les suites — Première

Cours Suites numériques — Première

Méthode Représenter graphiquement une suite

Méthode Étudier le sens de variation d'une suite

📐 Cours — 📈 Suites numériques

📈 Généralités sur les suites

Une suite est une fonction de ℕ dans ℝ : u : n → uₙ

🔹

Définition explicite

uₙ = f(n)

🔁

Par récurrence

uₙ₊₁ = f(uₙ)

📈

Nuage de points

Points (n ; uₙ)

📊

Variations

uₙ₊₁ − uₙ > 0 → croissante

🌟 Exemple : uₙ = 3n − 1 → u₅ = 3×5−1 = 14 · uₙ₊₁ − uₙ = 3 > 0 → croissante

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Quiz — 📈 Suites numériques

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➕ Suites arithmétiques & géométriques

Raison, terme général, somme des termes, applications

Les suites arithmétiques (addition) et géométriques (multiplication) sont les deux familles fondamentales. Savoir les reconnaître, calculer leurs termes et leurs sommes.

Raison r des suites arithmétiques Raison q des suites géométriques Terme général uₙ = u₀ + n·r Terme général uₙ = u₀ × qⁿ Somme des n premiers termes

Formules clés

Arithmétique : uₙ = u₀ + n·r · Sₙ = n(u₀+uₙ)/2
Géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ · Sₙ = u₀×(1−qⁿ⁺¹)/(1−q)

Cours Suites arithmétiques et géométriques — Première

Cours Calculer la somme des termes d'une suite

Méthode Démontrer qu'une suite est arithmétique

Méthode Démontrer qu'une suite est géométrique

Méthode Somme de termes — Suites arithmétiques

Méthode Somme de termes — Suites géométriques

📐 Cours — ➕ Suites arithmétiques & géométriques

➕ Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même constante r (la raison).

uₙ₊₁ = uₙ + r · uₙ = u₀ + n·r

Somme : Sₙ = u₀ + u₁ + … + uₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2

🌟 Exemple : Suite arith. de raison 3, u₀ = 2 → u₁₀ = 2 + 10×3 = 32

✖️ Suites géométriques

Une suite est géométrique quand on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même constante q (la raison).

uₙ₊₁ = uₙ × q · uₙ = u₀ × qⁿ

Somme : Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)

🌟 Exemple : Suite géom. de raison 2, u₀ = 1 → u₆ = 1×2⁶ = 64

Les deux types fondamentaux de suites

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Quiz — ➕ Suites arithmétiques & géométriques

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II

Analyse

Dérivation (nombre dérivé, tangente) et fonction exponentielle.

f′ Dérivation

Nombre dérivé, tangente, fonctions dérivées usuelles, règles, variations

La dérivation est l'outil fondamental pour étudier les variations d'une fonction. Savoir calculer un nombre dérivé, une tangente, et utiliser le signe de la dérivée.

Nombre dérivé et tangente Dérivées des fonctions de référence Dérivée d'une somme, d'un produit Signe de f′ et variations de f Extremum d'une fonction

Formules clés

(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ · (sin x)′ = cos x · (cos x)′ = −sin x
(uv)′ = u′v+uv′ · (eᵘ)′ = u′·eᵘ · Si f′ ≥ 0 alors f ↗

Cours La dérivation — Première

Méthode Calculer le nombre dérivé

Méthode Équation de la tangente

Méthode Dériver un produit de fonctions

Cours Variations et extremum d'une fonction

Méthode Tableau de variations complet

📐 Cours — f′ Dérivation

📐 Nombre dérivé

Le nombre dérivé de f en a est la pente de la tangente à la courbe :

f′(a) = lim_h→0 (f(a+h) − f(a)) / h

Équation de la tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a)

La tangente en M(a) a pour pente f′(a)

📋 Dérivées usuelles

f(x)	f′(x)	f(x)	f′(x)
k	0	xⁿ	n·xⁿ⁻¹
x	1	1/x	−1/x²
x²	2x	√x	1/(2√x)
x³	3x²	eˣ	eˣ

🧮 Opérations sur les dérivées

➕

Somme

(u+v)′ = u′+v′

✖️

Produit

(u·v)′ = u′v+uv′

🔗

Composée

(eᵘ)′ = u′·eᵘ

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Quiz — f′ Dérivation

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eˣ Fonction exponentielle

Définition, propriétés, dérivée, limites, équations et inéquations

La fonction exponentielle est l'unique fonction égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0. Elle intervient dans la modélisation de nombreuses situations.

Définition unique : f′ = f et f(0) = 1 Relation fonctionnelle eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ Dérivée de eᵘ et eˣ Limites aux bornes Équations et inéquations avec exponentielle

Formules clés

eˣ > 0 pour tout x · eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ · (eᵘ)′ = u′·eᵘ
lim_x→−∞ eˣ = 0 · lim_x→+∞ eˣ = +∞

Cours Fonction exponentielle — Première

Méthode Dériver l'exponentielle

Méthode Résoudre une équation avec exponentielle

Méthode Limites de la fonction exponentielle

📐 Cours — eˣ Fonction exponentielle

🚀 Définition

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que :

f′ = f et f(0) = 1

On note cette fonction exp(x) = eˣ.

📦 Propriétés algébriques

➕

Produit

eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ

➖

Inverse

e⁻ᵃ = 1/eᵃ

🔑

Quotient

eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ

⚡

Puissance

(eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ

📈 Variations

eˣ > 0 pour tout x, donc (eˣ)′ = eˣ > 0 → exponentielle strictement croissante.

🌟 Exemple : f(x) = e⁻²ˣ → f′(x) = −2e⁻²ˣ · lim_−∞ e⁻²ˣ = +∞ · lim_+∞ e⁻²ˣ = 0

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Quiz — eˣ Fonction exponentielle

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III

Géométrie

Trigonométrie, produit scalaire, géométrie repérée, équations cartésiennes et de cercle.

⟳ Trigonométrie

Radian, cercle trigonométrique, cosinus, sinus, fonctions périodiques

Une nouvelle unité d'angle (le radian), le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables de cos et sin, et les fonctions trigonométriques périodiques.

Radian et conversion degrés/radians Cercle trigonométrique Cosinus et sinus d'un angle Valeurs remarquables Fonctions cosinus et sinus périodiques

Formules clés

π rad = 180° · sin²(x) + cos²(x) = 1 · sin(−x) = −sin(x) · cos(−x) = cos(x)
Période : 2π · Valeurs remarquables à connaître

Cours Trigonométrie — Première

Cours Le cercle trigonométrique

Méthode Placer un point sur le cercle

Méthode Résoudre une équation trigonométrique

Méthode Angles associés et formules

Méthode Périodicité des fonctions trigo

📐 Cours — ⟳ Trigonométrie

📏 Le radian

Unité naturelle d'angle : π rad = 180°

🔄

Degrés → Radians

× π / 180

🔄

Radians → Degrés

× 180 / π

⭕ Cercle trigonométrique

M(θ) = (cos θ ; sin θ) sur le cercle trigonométrique

💎 Valeurs remarquables

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Quiz — ⟳ Trigonométrie

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△ Produit scalaire

Définition, orthogonalité, calcul, applications

Le produit scalaire est un outil puissant pour calculer des longueurs, des angles, et démontrer l'orthogonalité entre deux vecteurs.

Produit scalaire u·v = xx′ + yy′ Avec les normes : u·v = ‖u‖·‖v‖·cos θ Orthogonalité u·v = 0 ⟺ u ⟂ v Projeté orthogonal Inégalité de Cauchy-Schwarz

Formules clés

1. u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ
2. u·v = ½(‖u+v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)
3. u·v = xx′ + yy′ (dans un repère orthonormé)

Cours Produit scalaire — Première

Méthode Calculer un produit scalaire

Méthode Orthogonalité des vecteurs

Méthode Produit scalaire et angles

Méthode Inégalité de Cauchy-Schwarz

Méthode Projeté orthogonal

📐 Cours — △ Produit scalaire

📐 Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs u(x;y) et v(x′;y′) :

u·v = xx′ + yy′

📍

Avec les coordonnées

u·v = xx′ + yy′

🔄

Avec les normes

u·v = ‖u‖·‖v‖·cos θ

📏

Avec les longueurs

u·v = ½(‖u+v‖²−‖u‖²−‖v‖²)

🎯

Orthogonalité

u·v = 0 ⟺ u ⟂ v

🌟 Exemple : u(2;3), v(4;−1) → u·v = 8−3 = 5

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Quiz — △ Produit scalaire

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■ Géométrie repérée

Équations cartésiennes, vecteur normal, équation d'un cercle, distance

La géométrie repérée permet de décrire droites et cercles par des équations, et de calculer distances et positions relatives.

Vecteur normal n(a;b) à une droite Vecteur directeur d(−b;a) Équation cartésienne ax+by+c=0 Équation d'un cercle (x−x₀)²+(y−y₀)²=R² Distance entre deux points

Formules clés

n(a;b) pour ax+by+c=0 · d(−b;a)
Cercle : (x−x₀)² + (y−y₀)² = R² · AB = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)

Cours Géométrie repérée — Première

Méthode Équation cartésienne (vecteur normal)

Méthode Équation d'un cercle

Méthode Position relative de deux droites

📐 Cours — ■ Géométrie repérée

📏 Géométrie repérée

Notion	Formule
Vecteur normal	n(a;b) pour ax+by+c=0
Vecteur directeur	d(−b;a) pour ax+by+c=0
Équation d'un cercle	(x−x₀)²+(y−y₀)² = R²
Distance entre 2 points	√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)

🌟 Exemple : Cercle centre (1;−2) R=3 → (x−1)²+(y+2)²=9

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Quiz — ■ Géométrie repérée

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IV

Probabilités

Probabilités conditionnelles, variables aléatoires, arbres pondérés.

P(A|B) Probabilités conditionnelles

Arbre pondéré, formule des probabilités totales, événements indépendants

Les probabilités conditionnelles permettent de calculer des probabilités lorsqu'une information partielle est connue. L'arbre pondéré est l'outil visuel indispensable.

Probabilité conditionnelle Pₐ(B) Arbre pondéré à 2 branches Formule des probabilités totales Événements indépendants Intersection et union

Formules clés

Pₐ(B) = P(A ∩ B) / P(A) · P(A ∩ B) = P(A) × Pₐ(B)
Probas totales : P(B) = Σ P(Aᵢ) × Pₐᵢ(B) · A et B indép. ↔ P(A∩B)=P(A)×P(B)

Cours Probabilités conditionnelles — Première

Méthode Probabilité conditionnelle (Formule)

Méthode Construire un arbre pondéré

Méthode Formule des probabilités totales

Cours Indépendance et évènements

Méthode Probabilités conditionnelles — Exercice type

📐 Cours — P(A|B) Probabilités conditionnelles

🎯 Notion de probabilité conditionnelle

La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé :

Pₐ(B) = P(A ∩ B) / P(A)

🌟 Exemple : P(A)=0,4, Pₐ(B)=0,3 → P(A∩B)=0,4×0,3=0,12

🌳 Arbre pondéré

Arbre de probabilités à 2 branches

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Quiz — P(A|B) Probabilités conditionnelles

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X(Ω) Variables aléatoires

Loi de probabilité, espérance, variance, écart-type

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience. On définit alors sa loi de probabilité, son espérance et sa variance.

Variable aléatoire X et ses valeurs Loi de probabilité P(X=xᵢ) Espérance E(X) = Σ xᵢ·P(X=xᵢ) Variance V(X) et écart-type Jeux équitables et espérance

Formules clés

E(X) = Σ xᵢ·pᵢ · V(X) = Σ (xᵢ−E(X))²·pᵢ
Formule de König : V(X) = E(X²) − E(X)² · σ(X) = √V(X)

Cours Variables aléatoires — Première

Méthode Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

Méthode Variance et écart-type

Méthode Jeu équitable et espérance

📐 Cours — X(Ω) Variables aléatoires

📊 Variable aléatoire

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue d'une expérience.

xᵢ	x₁	x₂	x₃	…
P(X=xᵢ)	p₁	p₂	p₃	…

Loi de probabilité de X

🎯

Espérance E(X)

Σ xᵢ·pᵢ

📈

Variance V(X)

Σ(xᵢ−E)²·pᵢ

🌟 Exemple : P(X=0)=0,2 ; P(X=1)=0,5 ; P(X=2)=0,3 → E(X)=0×0,2+1×0,5+2×0,3=1,1

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Quiz — X(Ω) Variables aléatoires

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V

Algorithmique & Programmation

Variables, boucles, conditions, fonctions, algorithmes sur les suites et seuils.

</> Algorithmique & Python

Variables, boucles, conditions, fonctions, algorithmes sur les suites

L'algorithmique et la programmation en Python sont au programme de Première. Savoir écrire des algorithmes simples utilisant des variables, des boucles et des tests.

Variables et types (int, float, bool) Instructions conditionnelles (if/else) Boucles bornées (for) et non bornées (while) Fonctions et paramètres Algorithmes sur les suites (termes, sommes)

Formules clés

Boucle bornée : for i in range(n): · Condition : if x > 0:
Fonction : def f(x): return x**2 · Algorithme de seuil : while u < S:

Cours Notion d'algorithme — Première

Méthode Boucle for en Python

Méthode Boucle while en Python

Méthode Fonctions en Python

📐 Cours — </> Algorithmique & Python

</> Algorithmique et Python

L'algorithmique est l'art de concevoir des algorithmes, et Python est le langage utilisé en Première pour les programmer.

💻 Variables et types

Type	Exemple	Explication
int	n = 5	Nombre entier
float	x = 3.14	Nombre décimal
bool	b = True	Booléen (True/False)
str	s = "Hello"	Chaîne de caractères

🔄 Structures de contrôle

❓

Condition

if x > 0:…else:…

🔁

Boucle for

for i in range(n):…

🔄

Boucle while

while cond:…

🎯

Fonction

def f(x): return…

🌟 Exemple : Algorithme de seuil : u=2; n=0; while u<100: u*=2; n+=1 → n=6

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Quiz — </> Algorithmique & Python

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